Score z

Ce tutoriel porte sur la standardisation z (transformation z). Nous expliquons ce qu'est un score z, comment fonctionne la standardisation z et ce qu'est la distribution normale standard. Il présente aussi la table des scores z et son utilisation.

Qu'est-ce que la standardisation z ?

La standardisation z est une procédure statistique utilisée pour rendre comparables des points de données provenant de différents jeux de données. Dans cette procédure, chaque point de données est converti en score z. Un score z indique à combien d'écarts-types un point de données se situe de la moyenne du jeu de données.

Exemple de standardisation z

Supposons que vous soyez médecin et que vous souhaitiez examiner la tension artérielle de vos patients. Pour cela, vous avez mesuré la tension artérielle d'un échantillon de 40 patients. À partir des données mesurées, vous pouvez naturellement calculer la moyenne, c'est-à-dire la valeur que les 40 patients présentent en moyenne.

Maintenant, l'un des patients vous demande à quel niveau se situe sa tension artérielle par rapport aux autres. Vous lui dites que sa tension artérielle est supérieure de 10 mmHg à la moyenne. La question est alors la suivante : 10 mmHg, est-ce beaucoup ou peu ?

Si les autres patients sont très regroupés autour de la moyenne, alors 10 mmHg est beaucoup par rapport à la dispersion ; mais si les autres patients sont très largement dispersés autour de la moyenne, alors 10 mmHg n'est peut-être pas si important.

L'écart-type nous indique à quel point les données sont dispersées. Si les données sont proches de la moyenne, l'écart-type est faible ; si elles sont très dispersées, l'écart-type est élevé.

Supposons que nous obtenions un écart-type de 20 mmHg pour nos données. Cela signifie qu'en moyenne, les mesures des patients s'écartent de 20 mmHg de la moyenne.

Le score z nous indique maintenant à quelle distance une personne se situe de la moyenne en unités d'écart-type. Ainsi, une personne qui s'écarte d'un écart-type de la moyenne a un score z de 1. Une personne située deux écarts-types au-dessus de la moyenne a un score z de 2. Une personne située trois écarts-types au-dessus de la moyenne a un score z de 3.

Une personne située un écart-type sous la moyenne a un score z de -1, une personne située deux écarts-types sous la moyenne a un score z de -2, et une personne située trois écarts-types sous la moyenne a un score z de -3.

Si une personne a exactement la valeur de la moyenne, elle se situe à zéro écart-type de la moyenne et reçoit un score z de zéro.

Ainsi, le score z indique à combien d'écarts-types une mesure se situe de la moyenne. Comme indiqué plus haut, l'écart-type est une mesure de la dispersion de la tension artérielle des patients autour de la moyenne.

En bref, le score z aide à comprendre dans quelle mesure une observation donnée est inhabituelle ou proche de la moyenne générale.

Calcul du score z

Comment calcule-t-on le score z ? Nous voulons convertir les données d'origine, dans notre cas la tension artérielle, en scores z, c'est-à-dire effectuer une standardisation z.

Voici la formule de la standardisation z. Dans la formule, z est le score z que nous voulons calculer, x est la valeur observée (la tension artérielle de la personne concernée), μ est la moyenne de l'échantillon (la moyenne des 40 patients) et σ est l'écart-type de l'échantillon.

Attention : à strictement parler, μ et σ sont la moyenne et l'écart-type de la population, mais dans notre cas nous ne disposons que d'un échantillon. Sous certaines conditions, que nous aborderons plus loin, nous pouvons estimer la moyenne et l'écart-type à l'aide de l'échantillon.

Supposons que les 40 patients de notre exemple aient une moyenne de 130 et un écart-type de 20. Si nous utilisons ces deux valeurs, nous obtenons pour z : x moins 130, le tout divisé par 20.

Nous pouvons maintenant utiliser la tension artérielle de chaque patient pour x et calculer le score z. Faisons-le simplement pour le premier patient. Supposons que ce patient ait une tension artérielle de 97 ; nous saisissons alors simplement 97 pour x et obtenons un score z de -1,65.

Cette personne a donc un score z de -1,65, ce qui correspond à 1,65 écarts-types sous la moyenne. Nous pouvons maintenant effectuer ce calcul pour tous les patients.

Quelle que soit l'unité des données initiales, nous disposons maintenant d'une mesure qui indique à quelle distance une personne se situe de la moyenne en unités d'écart-type.

Bien sûr, nous n'avons ici qu'un échantillon issu d'une population spécifique. Mais si les données suivent une distribution normale et si la taille de l'échantillon est supérieure à 30, nous pouvons utiliser le score z pour estimer, par exemple, le pourcentage de patients dont la tension artérielle est inférieure à 110 et le pourcentage de patients dont la tension artérielle est supérieure à 110.

Mais comment cela fonctionne-t-il ? Si les données initiales suivent une distribution normale, la standardisation z permet d'obtenir ce que l'on appelle une distribution normale standard.

La distribution normale standard est un type particulier de distribution normale dont la moyenne est 0 et l'écart-type est 1.

Sa particularité est que toute distribution normale, quelle que soit sa moyenne ou son écart-type, peut être convertie en distribution normale standard.

Puisque nous avons maintenant une distribution standardisée, il suffit d'une table qui indique quel pourcentage des valeurs se trouve en dessous d'un score z donné.

Vous trouverez une telle table dans presque tous les livres de statistique ou ici : Table des scores z. Bien sûr, la question est ensuite de savoir comment lire cette table.

Si, par exemple, nous avons un score z de -2, nous pouvons lire dans la table une valeur de 0,0228.

Cela signifie que 2,28 % des valeurs sont inférieures à un score z de -2. Comme le total est toujours de 100 % ou 1, 97,72 % des valeurs sont supérieures.

Avec un score z de zéro, nous sommes exactement au milieu et obtenons une valeur de 0,5. Par conséquent, 50 % des valeurs sont inférieures à un score z de 0 et 50 % des valeurs sont supérieures à 0. Comme la distribution normale est symétrique, nous pouvons en déduire les probabilités pour les scores z positifs.

Si nous avons un score z de 1, il suffit de chercher -1. Nous devons toutefois noter que, dans ce cas, nous obtenons une valeur qui nous indique quel pourcentage des valeurs est supérieur au score z. Ainsi, avec un score z de 1, 15,87 % des valeurs sont supérieures et 84,13 % des valeurs sont inférieures.

Mais que faire si, par exemple, nous voulons lire un score z de -1,81 dans la table ? Nous avons besoin pour cela des autres colonnes. Nous pouvons lire un score z de -1,81 à la ligne -1,8 et dans la colonne 0,01.

Revenons maintenant à l'exemple de la tension artérielle. Si nous voulons savoir quel pourcentage de patients ont une tension artérielle inférieure à 123, nous pouvons utiliser la standardisation z pour convertir une tension artérielle de 123 en score z ; dans ce cas, nous obtenons un score z de -0,35.

Nous pouvons maintenant prendre la table des scores z et chercher un score z de -0,35. Nous obtenons ici une valeur de 0,3632. Cela signifie que 36,32 % des valeurs sont inférieures à un score z de -0,35 et que 63,68 % sont supérieures.

Comparer différents jeux de données avec le score z

Il existe une autre application importante de la standardisation z : elle peut aider à rendre comparables des valeurs mesurées de différentes manières. Voici un exemple.

Supposons que nous ayons deux classes, la classe A et la classe B, qui ont passé un test de mathématiques différent.

Les tests sont conçus différemment, n'ont pas le même niveau de difficulté et ont un score maximal différent.

Pour comparer équitablement les performances des élèves des deux classes, nous pouvons appliquer la standardisation z.

Le score moyen, ou moyenne, de la classe A était de 70 points avec un écart-type de 10 points. Le score moyen au test dans la classe B était de 140 points avec un écart-type de 20 points.

Nous voulons maintenant comparer la performance de Max, de la classe A, qui a obtenu 80 points, avec celle d'Emma, de la classe B, qui a obtenu 160 points.

Pour cela, nous calculons simplement le score z de Max et d'Emma. Nous saisissons d'abord 80 pour x et obtenons un score z de 1. Puis nous saisissons 160 pour x et obtenons également un score z de 1.

Les scores z de Max et d'Emma sont donc identiques. Cela signifie que les deux élèves ont obtenu des performances équivalentes par rapport à la moyenne et à la dispersion dans leurs classes respectives. Tous deux se situent exactement un écart-type au-dessus de la moyenne de leur classe.

Hypothèses

Qu'en est-il des hypothèses ? Peut-on simplement calculer une standardisation z et utiliser la table de la distribution normale standard ?

La standardisation z elle-même, c'est-à-dire la conversion des points de données en scores z à l'aide de cette formule, n'est essentiellement soumise à aucune condition stricte. Elle peut être effectuée indépendamment de la distribution des données.

Cependant, si nous utilisons les scores z obtenus dans le cadre de la distribution normale standard pour des analyses statistiques (par exemple pour des tests d'hypothèse ou des intervalles de confiance), certaines hypothèses doivent être satisfaites.

La distribution z suppose que la population sous-jacente suit une distribution normale et que la moyenne (μ) et l'écart-type (σ) de la population sont connus.

Comme, en pratique, on dispose rarement de toute la population et que la moyenne ainsi que l'écart-type ne sont généralement pas connus, cette exigence n'est souvent pas remplie. Heureusement, il existe une hypothèse alternative.

Bien que la distribution z soit définie pour des populations suivant une distribution normale, le théorème central limite peut être appliqué aux grands échantillons. Ce théorème affirme que la distribution d'échantillonnage de la moyenne se rapproche d'une distribution normale lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande, souvent à partir d'environ 30 observations. Dans ce cas, la distribution normale standard peut être utilisée comme approximation, et la moyenne ainsi que l'écart-type peuvent être estimés à l'aide de l'échantillon.

Lorsque l'écart-type est estimé à partir de l'échantillon, on écrit généralement s au lieu de σ et x barre au lieu de μ pour désigner la moyenne.

La standardisation z ne doit pas être confondue avec le test z ou le test t. Si vous voulez savoir ce qu'est le test t, veuillez regarder la vidéo suivante.