Test des rangs signés de Wilcoxon

Le test de Wilcoxon (test des rangs signés de Wilcoxon) détermine si deux groupes dépendants diffèrent significativement l'un de l'autre. Pour ce faire, le test de Wilcoxon utilise les rangs des différences entre les paires au lieu des moyennes.

Le test de Wilcoxon est un test non paramétrique et est donc soumis à beaucoup moins de conditions préalables que son homologue paramétrique, le test t pour échantillons dépendants. Par conséquent, dès que les conditions d'application du test t pour échantillons dépendants ne sont plus remplies, le test de Wilcoxon est utilisé.

Conditions du test de Wilcoxon

Le test de Wilcoxon étant un test non paramétrique, il n'est pas nécessaire que les données soient normalement distribuées. Toutefois, pour calculer un test de Wilcoxon, les échantillons doivent être dépendants. Les échantillons dépendants sont présents, par exemple, lorsque les données sont obtenues à partir de mesures répétées ou lorsqu'il s'agit de paires dites naturelles.

• Mesure répétée : une caractéristique d'une personne, par exemple son poids, a été mesurée à deux moments différents.
• Couples naturels : les valeurs ne doivent pas nécessairement provenir de la même personne, mais de personnes qui vont ensemble, par exemple avocat/client, épouse/mari et psychologue/patient. Bien entendu, il ne s'agit pas nécessairement de personnes.
• Indépendance : le test de Wilcoxon suppose l'indépendance, c'est-à-dire que les observations appariées sont tirées au hasard et de manière indépendante.

En outre, la forme de la distribution des différences entre les deux échantillons dépendants doit être approximativement symétrique.

Si les données ne sont pas disponibles par paires, le test U de Mann-Whitney est utilisé à la place du test de Wilcoxon.

Hypothèses du test de Wilcoxon

Les hypothèses du test de Wilcoxon sont très similaires à celles du test t pour échantillons dépendants. Toutefois, dans le cas du test de Wilcoxon, il s'agit de vérifier s'il existe une différence de tendance centrale ; dans le cas du test t, il s'agit de vérifier s'il existe une différence de moyenne. Ainsi, le test de Wilcoxon donne :

• Hypothèse nulle : il n'y a pas de différence (en termes de tendance centrale) entre les deux groupes de la population.
• Hypothèse alternative : il existe une différence (en termes de tendance centrale) entre les deux groupes de la population.

Test de Wilcoxon et puissance du test

La question qui se pose est la suivante : pourquoi ne pas toujours utiliser le test de Wilcoxon au lieu du test t pour les échantillons dépendants ? Il ne serait alors pas nécessaire de vérifier la distribution normale ! La raison est que les tests paramétriques comme le test t sont généralement plus puissants lorsque leurs conditions sont remplies.

Avec un test paramétrique, une différence plus faible ou un échantillon plus petit suffit alors à rejeter l'hypothèse nulle. C'est pourquoi il vaut mieux utiliser un test paramétrique lorsque ses conditions sont remplies. Si les différences sont très asymétriques ou comportent des valeurs extrêmes, le test de Wilcoxon est le meilleur choix.

Calculer le test de Wilcoxon

Pour calculer le test de Wilcoxon pour deux échantillons dépendants, on calcule d'abord la différence entre les valeurs dépendantes. Une fois les différences calculées, les valeurs absolues des différences sont utilisées pour former les rangs. Il est important de conserver le signe d'origine des différences. Les paires dont la différence est nulle sont généralement écartées du calcul (un exemple avec des rangs égaux est donné ci-dessous).

Dans la dernière étape, les sommes des rangs sont calculées séparément pour les différences positives et pour les différences négatives. La statistique de test W est alors calculée à partir de la plus petite valeur de T⁺ et de T^-.

Dans cet exemple, la statistique de test W vaut 8.

S'il n'y a pas de différence dans la somme des rangs, la valeur attendue est de

Dans cet exemple, la valeur attendue est de 10,5. La statistique de test calculée doit maintenant faire l'objet d'un test de significativité.

Si l'échantillon est suffisamment grand, c'est-à-dire si le nombre de paires est supérieur à 25, la statistique de test W est approximativement distribuée normalement. Dans ce cas, la valeur z peut être calculée à l'aide de la formule ci-dessus. S'il y a moins de 25 paires, la valeur critique est lue dans un tableau de valeurs critiques de W. Par conséquent, dans cet exemple, c'est le tableau qui est utilisé.

La valeur z calculée à partir du test de Wilcoxon peut maintenant être vérifiée en la comparant à la valeur critique de la distribution normale standard. Si la valeur z est, en valeur absolue, supérieure à cette valeur critique, on rejette l'hypothèse nulle.

Calculer le test des rangs signés de Wilcoxon avec des rangs égaux

Si plusieurs personnes partagent un rang, il y a des rangs liés. Dans ce cas, le calcul des sommes des rangs et de l'écart-type de la valeur W est modifié. Nous allons maintenant examiner ces deux aspects à l'aide d'un exemple.

Dans cet exemple, on peut voir qu'il y a...

• ...trois personnes qui ont une différence de deux, ces personnes se partagent les rangs 2, 3 et 4.
• ...deux personnes qui ont une différence de 4, ces personnes se partagent les rangs 6 et 7.

Pour tenir compte de ces rangs liés, les valeurs moyennes des rangs joints sont calculées dans chaque cas. Dans le premier cas, on obtient un "nouveau" rang de 3 et dans le second un "nouveau" rang de 6,5. Nous pouvons maintenant calculer les sommes des rangs positifs et négatifs.

Comme les égalités de rang sont clairement visibles dans le tableau supérieur, un terme est calculé ici, qui est nécessaire pour le calcul ultérieur de la valeur W en présence d'égalités de rang.

Toutes les valeurs sont maintenant disponibles pour calculer la valeur z en tenant compte des rangs liés.

Une fois encore, il convient de noter qu'il faut environ 25 paires pour supposer que la distribution des valeurs W est normale.

Taille de l'effet dans le test des rangs signés de Wilcoxon

La taille de l'effet indique l'importance de l'effet observé par rapport au bruit aléatoire. Il existe différentes mesures pour calculer la taille de l'effet dans le test de Wilcoxon. Une méthode courante consiste à utiliser r, défini comme suit :

où z est la statistique de test standardisée issue du test de Wilcoxon et n est le nombre de paires prises en compte dans le test.

La valeur de r peut être comprise entre -1 et 1, les valeurs proches de 0 indiquant qu'il n'y a pas d'effet et les valeurs proches de -1 ou 1 indiquant un effet fort. Le signe de r indique la direction de l'effet.

Le tableau suivant peut être utilisé pour l'interprétation de la taille de l'effet (taille de l'effet r selon Cohen (1988)).

Exemple de test de Wilcoxon

Un test de Wilcoxon peut facilement être calculé avec numiqo. Il suffit de copier le tableau ci-dessous ou ses propres données dans la calculatrice statistique et de cliquer sur Tests d'hypothèse. Cliquer ensuite sur les deux variables et sélectionner "Test non paramétrique".

numiqo donne alors le résultat suivant.