Test t pour échantillons indépendants
Qu'est-ce qu'un test t pour échantillons indépendants ?
Le test t pour échantillons indépendants est un test statistique qui détermine s'il existe une différence entre deux groupes non apparentés.
Le test t pour échantillons indépendants sert à tirer des conclusions sur la population à partir de deux échantillons indépendants. Pour ce faire, la valeur moyenne des deux échantillons est comparée. Si la différence entre les moyennes est suffisamment importante, on considère que les deux groupes sont différents.
Pourquoi le test t pour échantillons indépendants est-il nécessaire ?
Supposons que l'on veuille tester s'il existe une différence entre deux groupes de la population, par exemple, s'il existe une différence de salaire entre les hommes et les femmes. Bien sûr, il n'est pas possible de demander à tous les hommes et à toutes les femmes de donner leur salaire, alors nous prenons un échantillon. Nous créons une enquête et l'envoyons au hasard à des personnes. Pour pouvoir tirer des conclusions sur la population à partir de cet échantillon, nous avons besoin du test t pour échantillons indépendants.
Comment fonctionne le test t pour échantillons indépendants ?
Le test t pour échantillons indépendants compare la différence des moyennes à l'erreur standard de cette différence. L'erreur standard indique à quel point la moyenne d'un échantillon est susceptible de s'éloigner de la véritable moyenne de la population. Si cette fluctuation est importante, une grande différence entre les valeurs moyennes des deux groupes peut aussi survenir par simple hasard.
Par conséquent, plus la différence moyenne entre les deux groupes est importante et plus l'erreur standard est petite, moins il est plausible que la différence observée entre les deux échantillons soit due au seul hasard.
Qu'est-ce qu'un échantillon indépendant ?
Il existe des échantillons indépendants si aucun cas ou personne d'un groupe ne peut être attribué à un cas ou une personne de l'autre groupe. C'est le cas, par exemple, lorsqu'on compare le groupe des femmes et le groupe des hommes, ou le groupe des étudiants en psychologie avec celui des étudiants en mathématiques.
Test t pour échantillons appariés ou pour échantillons indépendants
La principale différence entre le test t apparié et le test t pour échantillons indépendants tient à la nature des échantillons.
- Si l'on dispose d'un seul et même échantillon interrogé à deux moments différents, on utilise un test t apparié.
- Si l'on veut comparer deux groupes différents, qu'ils proviennent d'un seul ou de deux échantillons, on utilise un test t pour échantillons indépendants.
Exemples de test t pour échantillons indépendants
Le test t indépendant a de nombreuses applications. Il s'agit d'un test important, par exemple en biostatistique ou en marketing.
Exemple médical :
Un laboratoire pharmaceutique souhaite vérifier si un médicament XY aide ou non à perdre du poids. Pour ce faire, on donne le médicament à 20 personnes et un placebo à 20 autres.
Exemple en sciences sociales :
On veut savoir s'il y a une différence entre la santé des personnes qui ont un diplôme universitaire et celle des personnes qui n'en ont pas.
Exemple technique :
Dans une usine de vis, on veut savoir si deux lignes de production produisent des vis de même poids. Pour ce faire, on pèse 50 vis provenant d'une machine et 50 vis provenant de l'autre machine et on les compare.
Question de recherche et hypothèses
Pour savoir si deux groupes indépendants sont différents, il faut calculer un test t pour échantillons indépendants. Toutefois, avant de pouvoir calculer le test t, il faut d'abord formuler une question de recherche et définir les hypothèses.
Question de recherche pour le test t pour échantillons indépendants
La question de recherche permet de limiter l'objet de l'enquête. Dans un test t pour des échantillons indépendants, la question générale est la suivante : Existe-t-il une différence statistiquement significative entre les valeurs moyennes de deux groupes ?
Dans les exemples ci-dessus, les questions de recherche sont les suivantes :
- Le médicament XY aide-t-il à perdre du poids ?
- Y a-t-il une différence dans la santé des personnes avec et sans diplôme universitaire ?
- Les deux usines de production produisent-elles des vis de même poids ?
Hypothèses pour le test t pour échantillons indépendants
L'étape suivante consiste à déduire de la question les hypothèses à tester. Les hypothèses sont des suppositions sur la réalité dont la validité est possible mais pas encore prouvée. On formule toujours deux hypothèses qui affirment exactement le contraire. Ces deux hypothèses sont l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative.
| Hypothèse nulle H0 | Hypothèse alternative H1 |
|---|---|
|
Il n'y a pas de différence de moyenne entre les deux groupes de la population
Les moyennes des deux populations sont
égales. Exemple : Il n'y a pas de différence entre le salaire des hommes et celui des femmes |
Il existe une différence de moyenne entre les deux groupes de la population
Les deux moyennes de la population ne sont
pas égales Exemple : Il y a une différence entre le salaire des hommes et celui des femmes. |
Conditions d'application du test t pour échantillons indépendants
Pour calculer un test t indépendant, il faut une variable indépendante (par exemple le sexe) qui présente deux caractéristiques ou groupes (par exemple homme et femme) et une variable dépendante métrique (par exemple le revenu). Ces deux groupes doivent être comparés dans l'analyse. La question est de savoir s'il existe une différence entre les deux groupes en ce qui concerne la variable dépendante (par exemple, le revenu). Les conditions d'application sont les suivantes :
1. Les deux groupes ou échantillons doivent être indépendants
Comme le suggère le nom de ce test t, les échantillons doivent être indépendants. Cela signifie qu'une valeur dans un échantillon ne doit pas influencer une valeur dans l'autre échantillon.
- Mesure du poids de personnes ayant suivi un régime et de personnes n'ayant pas suivi de régime.
- Mesure du poids d'une personne avant et après un certain régime.
2. Les variables doivent être à l'échelle métrique
Pour le test t sur des échantillons indépendants, la valeur moyenne de l'échantillon doit être calculée, ce qui n'a de sens que si la variable est à échelle métrique.
- Le poids d'une personne (en kg).
- Le niveau d'études d'une personne.
3. La variable doit être normalement distribuée dans chaque groupe
Le test t pour les échantillons indépendants donne les résultats les plus précis lorsque la variable étudiée est normalement distribuée à l'intérieur de chaque groupe. La normalité doit donc être vérifiée séparément pour chacun des deux groupes.
- Le poids, l'âge ou la taille d'une personne.
- Le nombre obtenu après avoir lancé un dé.
4. Les variances des deux groupes doivent être similaires
La version classique du test t, le test t de Student, met en commun les variances des deux groupes et suppose donc qu'elles sont similaires. Si ce n'est pas le cas, on utilise le test t de Welch, qui ne fait pas cette supposition.
- Des écarts-types semblables dans les deux groupes.
- Des écarts-types nettement différents : il faut alors utiliser le test t de Welch.
Conditions d'application non respectées ?
Si les conditions d'application du test t indépendant ne sont pas respectées, la valeur p calculée peut être incorrecte. Toutefois, si les deux échantillons sont de taille égale, le test t est assez robuste à une légère asymétrie des données. En revanche, le test t de Student n'est pas robuste lorsque les variances diffèrent nettement ; c'est alors le test t de Welch qu'il faut utiliser.
Si les variables ne sont pas normalement distribuées, le test U de Mann-Whitney peut être utilisé. Le test U de Mann-Whitney est la contrepartie non paramétrique du test t indépendant.
Calculer le test t pour des échantillons indépendants
Selon que la variance des deux groupes est supposée égale ou inégale, on obtient une formule différente pour la statistique du test t. L'égalité des variances se vérifie à l'aide du test de Levene, dont l'hypothèse nulle est que les deux variances sont égales. Si la valeur p du test de Levene est inférieure à 5 %, on suppose qu'il existe une différence entre les variances des deux groupes.
Formule pour une variance égale (test t de Student)
Si le test de Levene donne une valeur p supérieure à 5 %, on suppose que les deux groupes ont la même variance et la statistique de test est :
La valeur p peut alors être déterminée à partir du tableau de la distribution t. Le nombre de degrés de liberté est donné par
où n1 et n2 sont à nouveau le nombre de cas dans les deux échantillons.
Formule pour une variance inégale (test t de Welch)
La statistique de test t pour un test t sur échantillons indépendants avec variance inégale est calculée comme suit :
La valeur p découle alors du tableau avec la distribution t, où les degrés de liberté sont obtenus par l'équation suivante :
Contrairement au test t de Student, ces degrés de liberté ne sont généralement pas des nombres entiers.
Intervalle de confiance pour la différence moyenne réelle
La différence moyenne obtenue dans le test t indépendant a été calculée à partir de l'échantillon. Il est maintenant intéressant de savoir dans quelle fourchette se situe la véritable différence moyenne. Pour déterminer dans quelles limites la différence réelle est susceptible de se situer, on calcule l'intervalle de confiance.
L'intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne réelle peut être calculé à l'aide de la formule suivante :
où t* est le quantile à 97,5 % de la distribution t, avec les degrés de liberté df du test.
Test t unilatéral et bilatéral pour échantillons indépendants
Comme expliqué dans l'article sur les hypothèses, il existe des hypothèses unilatérales et bilatérales (également appelées hypothèses dirigées et non dirigées). Pour tenir compte de cela, il existe également un test t unilatéral et bilatéral pour les échantillons indépendants. Par défaut, c'est le test t bilatéral pour échantillons indépendants qui est calculé, et c'est aussi celui qu'affiche numiqo.
Pour obtenir le test t unilatéral, on part de la valeur p bilatérale. Si les données vont "dans le sens" de l'hypothèse dirigée, c'est-à-dire si le groupe attendu comme le plus élevé a bien la moyenne la plus élevée, la valeur p unilatérale est égale à la valeur p bilatérale divisée par deux. Dans le cas contraire, elle vaut 1 moins la valeur p bilatérale divisée par deux.
Test t pour échantillons indépendants : calcul de la taille de l'effet
L'taille de l'effet dans un test t pour échantillons indépendants est généralement calculée à l'aide du d de Cohen. Une variante est le g de Hedges, une version du d corrigée pour les petits échantillons. Le calculateur de test t pour échantillons indépendants sur numiqo permet d'obtenir facilement la taille de l'effet.
Pourquoi avoir besoin de la taille de l'effet ?
La valeur p calculée dépend fortement de la taille de l'échantillon. Par exemple, s'il existe une différence dans la population, plus la taille de l'échantillon est grande, plus la valeur p "montrera" clairement cette différence. Si la taille choisie de l'échantillon est très élevée, même de très petites différences, qui peuvent ne plus être pertinentes, peuvent être "détectées" dans la population. Pour cette raison, on indique la taille de l'effet en plus de la valeur p.
Calculer le test t pour des échantillons indépendants avec numiqo
Une enseignante souhaite savoir si les résultats des examens de statistiques du semestre d'été diffèrent de ceux du semestre d'hiver. À cette fin, elle crée une vue d'ensemble des points obtenus par examen.
Question de recherche :
Existe-t-il une différence significative entre les résultats des examens du semestre d'été et du semestre d'hiver ?
Hypothèse nulle H0 :
Il n'y a pas de différence entre les moyennes des deux populations. Le nombre moyen de points à l'examen de statistiques est le même au semestre d'été et au semestre d'hiver.
Hypothèse alternative H1 :
Il existe une différence entre les moyennes des deux populations. Le nombre moyen de points à l'examen de statistiques diffère entre le semestre d'été et le semestre d'hiver.
| Semestre d'été | Semestre d'hiver |
|---|---|
| 52 | 53 |
| 61 | 71 |
| 40 | 38 |
| 46 | 34 |
| 50 | 68 |
| 56 | 68 |
| 44 | 46 |
| 47 | 41 |
| 70 | 38 |
| 40 | 23 |
| 65 | 28 |
| 38 | |
| 68 |
Après avoir copié les données de l'échantillon ci-dessus dans la calculatrice de test d'hypothèse sur numiqo, vous pouvez calculer le test t pour les échantillons indépendants. Les résultats de l'exemple de test t ressemblent à ceci :
Statistiques du groupe
| n | Moyenne | Écart-type | Erreur standard de la moyenne | |
| Semestre d'été | 13 | 52,077 | 11,026 | 3,058 |
| Semestre d'hiver | 11 | 46,182 | 16,708 | 5,038 |
Test t pour échantillons indépendants
| t | ddl | p | ||
| Semestre d'été et semestre d'hiver | Variance égale | 1,035 | 22 | 0,312 |
| Variance inégale | 1 | 16,824 | 0,331 |
Intervalle de confiance à 95 %
| Différence de valeur moyenne | Erreur standard de la différence |
Inférieure | Supérieure | ||
| Semestre d'été et semestre d'hiver | Variance égale | 5,895 | 5,694 | -5,914 | 17,705 |
| Variance inégale | 5,895 | 5,893 | -6,55 | 18,34 |
Comment interpréter un test t pour des échantillons indépendants ?
Pour déterminer si le résultat est statistiquement significatif ou non, on utilise l'une des deux valeurs suivantes :
- la valeur p (bilatérale)
- l'intervalle de confiance inférieur et supérieur de la différence
Dans cet exemple de test t, la valeur p (bilatérale) est de 0,312, soit 31 %. Cela signifie que, si les moyennes des deux populations étaient réellement égales, on observerait dans environ 31 % des échantillons une différence au moins aussi grande que celle obtenue ici. Le seuil de signification ayant été fixé à 5 % avant l'analyse, la valeur p lui est supérieure. On ne rejette donc pas l'hypothèse nulle : les données ne fournissent pas assez d'éléments pour conclure à une différence entre les moyennes des deux populations.
La deuxième façon de déterminer s'il existe ou non une différence significative est d'utiliser l'intervalle de confiance de la différence. Si cet intervalle contient la valeur zéro, la différence n'est pas significative au seuil de 5 %. Si ce n'est pas le cas, elle est significative. Dans cet exemple de test t, la limite inférieure est de -5,914 et la limite supérieure de 17,705. Comme zéro se situe entre ces deux limites, la différence n'est pas statistiquement significative.
Il est courant d'afficher d'abord les deux échantillons dans un graphique avant de calculer un test t pour des échantillons indépendants. À cette fin, un diagramme en boîte convient, car il permet de très bien visualiser la mesure de la tendance centrale et la mesure de la variabilité des deux échantillons indépendants.
