Analyse de variance à deux facteurs avec répétition des mesures

Qu'est-ce qu'une ANOVA à deux facteurs avec mesures répétées ?

Si nous examinons les types les plus courants d'analyse de la variance, nous distinguons d'une part, l'analyse de la variance à un facteur et l'analyse de la variance à deux facteurs, et d'autre part, l'analyse de la variance sans répétition des mesures et avec répétition des mesures. Nous allons ici nous pencher sur l'analyse de la variance à deux facteurs avec répétition des mesures.

L'analyse de variance à deux facteurs avec répétition des mesures teste l'effet de deux facteurs et de leur interaction sur une variable dépendante métrique. Au moins un des deux facteurs correspond à des mesures répétées sur les mêmes personnes.

Contrairement à l'analyse de variance à deux facteurs sans répétition des mesures, l'un des facteurs est créé par la répétition des mesures. En d'autres termes, un facteur est un échantillon dépendant. Lorsqu'un facteur repose sur des mesures répétées (facteur intra-sujets) et que l'autre compare des groupes indépendants (facteur inter-sujets), on parle d'ANOVA mixte : c'est le plan décrit sur cette page.

Échantillon avec répétition des mesures

Quelle est la différence avec l'analyse de variance "normale" à un facteur avec mesures répétées ? Ou quelle est la différence entre une analyse de variance à un facteur et une analyse de variance à deux facteurs ?

L'ANOVA à un facteur avec mesures répétées teste s'il existe des différences statistiquement significatives entre trois échantillons dépendants ou plus.

Dans un échantillon dépendant, les valeurs mesurées sont liées. Ainsi, une seule et même personne est mesurée à plusieurs moments.

Exemple d'ANOVA à deux facteurs avec mesures répétées

Si, par exemple, un échantillon de personnes souffrant d'hypertension artérielle est constitué et que leur tension artérielle est mesurée avant, au milieu et à la fin du traitement, il s'agit d'un échantillon dépendant. C'est le cas parce qu'une seule et même personne a été interrogée à plusieurs moments.

Il peut être intéressant de savoir si le traitement de l'hypertension a un effet sur la tension artérielle. On veut donc savoir si la pression artérielle évolue dans le temps.

Mais que se passe-t-il si l'on dispose à présent de différentes thérapies et que l'on veut vérifier s'il existe une différence entre elles ? Nous disposons à présent de deux facteurs : la thérapie et les répétitions de mesures. Étant donné qu'il y a maintenant deux facteurs et que l'un d'entre eux est un échantillon dépendant, on utilise l'analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées. Le temps est ici le facteur intra-sujets et la thérapie le facteur inter-sujets.

L'analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées permet de répondre à trois questions :

• Le premier facteur avec répétition des mesures a-t-il un effet sur la variable dépendante ?
• Le deuxième facteur a-t-il un effet sur la variable dépendante ?
• Existe-t-il une interaction entre le facteur 1 et le facteur 2 ?

Hypothèses

Comme nous l'avons déjà indiqué, l'analyse de variance à deux facteurs permet de tester trois affirmations. Il existe donc trois hypothèses nulles et, par conséquent, trois hypothèses alternatives.

Hypothèses nulles :

• Dans la population, les moyennes des différents temps de mesure sont égales.
• Dans la population, les moyennes des différents groupes du deuxième facteur sont égales.
• Il n'y a pas d'interaction entre les deux facteurs : l'évolution au fil des temps de mesure est la même dans chaque groupe.

Hypothèses alternatives :

• Au moins deux temps de mesure ont des moyennes différentes dans la population.
• Au moins deux groupes du deuxième facteur ont des moyennes différentes dans la population.
• Il existe une interaction entre les deux facteurs : l'évolution au fil des temps de mesure n'est pas la même dans chaque groupe.

Conditions de l'analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées

Pour qu'une analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées puisse être calculée, les conditions suivantes doivent être remplies :

• Le niveau d'échelle de la variable dépendante doit être métrique. Par exemple, le salaire ou la tension artérielle.
• Le niveau d'échelle des facteurs doit être catégorique.
• Les mesures d'un facteur doivent être dépendantes, c'est-à-dire qu'elles doivent provenir de mesures répétées sur la même personne.
• Les mesures de l'autre facteur doivent être indépendantes, c'est-à-dire que les mesures d'un groupe ne doivent pas être influencées par les mesures d'un autre groupe.
• Les variances des groupes du facteur inter-sujets doivent être approximativement égales à chaque temps de mesure. Cela peut être vérifié à l'aide du test de Levene.
• Les données au sein de chaque groupe doivent être normalement distribuées.
• Sphéricité : pour un facteur intra-sujets à trois modalités ou plus, les variances des différences entre toutes les paires de temps de mesure doivent être égales. Cela se vérifie avec le test de Mauchly ; en cas de violation, on applique une correction comme celle de Greenhouse-Geisser.

Calculer l'analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées

Supposons que les données que nous voulons analyser soient les suivantes. Chaque ligne correspond à une personne, le premier facteur reflète les trois moments avant la thérapie, au milieu et à la fin de la thérapie, et le deuxième facteur correspond au type de thérapie.

Pour calculer en ligne une analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées, il suffit de se rendre sur numiqo.fr et de copier ses propres données dans le tableau.

Ensuite, cliquez sur "test d'hypothèse". Sous cet onglet, vous trouverez de nombreux tests d'hypothèse et, en fonction de la variable sur laquelle vous cliquez, un test d'hypothèse approprié vous sera suggéré.

Lorsque vous copiez vos données dans le tableau, les variables apparaissent sous le tableau. Si le niveau d'échelle correct n'est pas automatiquement détecté, vous pouvez facilement le modifier dans l'affichage des variables.

Par exemple, si nous cliquons sur "Avant", "Milieu" et "Fin", une analyse de variance avec mesures répétées est automatiquement calculée. Mais nous souhaitons également inclure la thérapie, il nous suffit donc de cliquer sur "Thérapie".

Nous obtenons alors une analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées.

Nous pouvons lire les trois hypothèses nulles et les trois hypothèses alternatives. Nous obtenons ensuite les statistiques descriptives, puis les résultats de l'analyse de variance. Nous les examinerons en détail dans un instant.

Interprétation de l'analyse de variance à deux facteurs avec mesures répétées.

Le plus important dans ce tableau sont les trois lignes encadrées : elles testent les trois hypothèses nulles formulées précédemment. La première ligne teste si la pression artérielle moyenne diffère d'un temps de mesure à l'autre.

La deuxième ligne vérifie s'il existe une différence entre les thérapies respectives en ce qui concerne la pression artérielle. Enfin, la dernière ligne vérifie s'il existe une interaction entre les deux facteurs.

La valeur p est indiquée à la fin de chaque ligne. Supposons que nous ayons fixé le seuil de signification à 5 % avant l'analyse. Si la valeur p calculée est inférieure ou égale à 0,05, l'hypothèse nulle correspondante est rejetée ; si elle est supérieure à 0,05, on ne rejette pas l'hypothèse nulle.

Ainsi, nous constatons que la valeur p de la première ligne (avant, milieu, fin) est inférieure à 0,05 : la pression artérielle moyenne diffère donc selon le temps de mesure. Ce résultat global n'indique pas quels temps de mesure diffèrent ; des comparaisons deux à deux sont nécessaires pour le savoir. La valeur p de la deuxième ligne est supérieure à 0,05 : les données ne permettent pas de conclure à une différence de pression artérielle moyenne entre les thérapies, en moyenne sur les trois temps de mesure.

Il est important de noter que l'on considère ici la valeur moyenne sur les trois points dans le temps. Il se peut également que la pression artérielle augmente dans une thérapie et diminue dans l'autre, mais qu'en moyenne, la pression artérielle soit la même sur l'ensemble des points dans le temps, de sorte que nous n'obtiendrions pas de différence significative ici.

Si c'était le cas, nous aurions une interaction entre les thérapies et le temps. C'est ce que nous testons avec la dernière hypothèse.

Dans ce cas, il n'y a pas d'interaction significative entre la thérapie et le temps.

Si vous ne savez pas exactement comment interpréter les résultats, vous pouvez aussi cliquer sur Résumé en mots.