Écart-type

L'écart-type est une mesure statistique qui quantifie le degré de variation ou de dispersion dans un ensemble de données. En d'autres termes, il nous indique à quel point les valeurs sont dispersées autour de la moyenne de l'ensemble de données.

Supposons que nous mesurions la taille d'un petit groupe de personnes. L'écart-type nous indique dans quelle mesure nos données s'écartent de la moyenne.

Calcul de l'écart-type

Pour calculer l'écart-type, nous devons d'abord calculer la moyenne. Nous obtenons la moyenne en additionnant simplement les tailles de toutes les personnes et en divisant par le nombre de personnes. Supposons que nous obtenions une moyenne de 155 cm. Maintenant, nous voulons savoir à quel point chaque personne s'écarte de cette moyenne.

Ainsi, nous observons la première personne, qui s'écarte de 18 cm par rapport à la moyenne, la deuxième personne s'écarte de 8 cm, la troisième de 15 cm, la quatrième de 8 cm, la cinquième de 9 cm, et enfin, la dernière personne s'écarte de 6 cm par rapport à la moyenne. En d'autres termes : les personnes très grandes ou très petites s'écartent davantage de la moyenne.

Nous ne nous intéressons pas à l'écart de chaque personne par rapport à la moyenne individuellement, mais nous voulons savoir dans quelle mesure les personnes, en moyenne, s'écartent de la moyenne, et c'est précisément ce que l'écart-type nous indique.

Dans notre exemple, l'écart quadratique moyen par rapport à la moyenne est de 11,5 cm. Pour calculer l'écart-type, nous pouvons utiliser cette formule :

Ainsi, l'écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts, c'est-à-dire la racine carrée de la somme des carrés des écarts divisée par le nombre de valeurs.

Pour notre exemple, cela signifie que nous calculons la taille de la première personne moins la moyenne et la mettons au carré, la taille de la deuxième personne moins la moyenne et la mettons au carré, et ainsi de suite jusqu'à la dernière personne.

Ensuite, nous divisons cela par le nombre de personnes, c'est-à-dire 6, et prenons la racine carrée. Le résultat est un écart-type de 11,5 cm. Comme nous avons divisé par n, il s'agit ici de l'écart-type de la population : nous supposons que ces six personnes constituent la population entière. Les deux formules sont expliquées plus bas.

Chaque personne a donc un écart qui lui est propre par rapport à la moyenne, et l'écart-type résume tous ces écarts en une seule valeur : ici 11,5 cm, c'est-à-dire la distance typique entre une taille et la moyenne.

Vous avez peut-être remarqué une chose : je parle constamment de « l'écart moyen » par rapport à la moyenne. Mais pour l'écart moyen, il suffirait simplement d'additionner tous les écarts et de les diviser par le nombre de participants, tout comme pour calculer une moyenne, n'est-ce pas ?

C'est absolument correct, mais il existe différents types de moyennes. Dans le cas de l'écart-type, nous utilisons la moyenne quadratique au lieu de la moyenne arithmétique : nous élevons les écarts au carré, nous en faisons la moyenne, puis nous prenons la racine carrée. La moyenne arithmétique des distances existe aussi, c'est une autre mesure de dispersion appelée écart absolu moyen ; dans notre exemple, elle vaut 10,7 cm et non 11,5 cm.

Différentes formules

Jusqu'ici tout va bien. Maintenant, il y a une chose de plus à prendre en compte ! Il existe deux formules légèrement différentes pour l'écart-type.

La différence est que, dans un cas, nous divisons la somme des carrés des écarts par n, et dans l'autre, nous divisons par n-1. Mais pourquoi existe-t-il deux formules différentes ?

Le plus souvent, nous voulons connaître l'écart-type de l'ensemble de la population. Par exemple, nous voulons connaître l'écart-type de la taille de tous les joueurs de football professionnels allemands.

Si nous avions la taille de tous les joueurs de football professionnels allemands, nous utiliserions la formule qui divise par n.

Cependant, il est généralement impossible de sonder l'ensemble de la population, c'est pourquoi nous prenons un échantillon. Nous utilisons alors cet échantillon pour estimer l'écart-type de la population. Dans ce cas, nous utilisons la formule avec n-1. Cette correction tient compte du fait que la moyenne utilisée dans la formule est elle-même estimée à partir de l'échantillon ; sans elle, nous sous-estimerions systématiquement la variance de la population.

En résumé : si nos données sont un échantillon et que nous voulons décrire la dispersion dans une population plus large, nous utilisons la formule avec n-1. Si les valeurs disponibles constituent elles-mêmes la population qui nous intéresse, nous utilisons la formule avec n. Dans une étude clinique, par exemple, nous utilisons la formule avec n-1, car nous voulons tirer des conclusions sur la population.

Écart-type et variance

Mais quelle est la différence entre l'écart-type et la variance ? La variance est la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne (avec le dénominateur n ou n-1, selon que l'on décrit une population ou un échantillon). L'écart-type est la racine carrée de la variance ; inversement, la variance est l'écart-type au carré.

Nous avons donc presque la même formule ! La seule différence est que pour l'écart-type, nous prenons la racine carrée. Pour la variance, nous ne le faisons pas.

Comme nous prenons la racine carrée, l'écart-type s'exprime dans la même unité que les données d'origine. Dans notre cas, des centimètres ! Il est donc conseillé d'utiliser l'écart-type pour décrire les données, car cela simplifie l'interprétation.

La variance est plus difficile à interpréter car l'unité est le carré de l'unité d'origine. Dans notre cas, des cm².