Test t pour un échantillon

Le test t est l'un des tests d'hypothèse les plus courants en statistique. Il permet de déterminer si la moyenne d'une population diffère d'une valeur donnée ou si les moyennes de deux populations diffèrent. Le test t fait la distinction entre

• le test t pour un échantillon
• le test t pour échantillons indépendants
• le test t pour échantillons appariés

Le choix du test t à utiliser dépend de la disponibilité d'un ou de deux échantillons. Si deux échantillons sont disponibles, une distinction est faite entre les échantillons dépendants et indépendants. Dans ce tutoriel, vous trouverez tout ce qu'il faut savoir sur le test t à un échantillon.

Astuce : Vous voulez calculer la valeur t ? Vous pouvez facilement la calculer pour les trois tests t en ligne dans la calculatrice de test t sur numiqo.

Le test t à un échantillon est utilisé pour vérifier si la moyenne d'une population diffère d'une valeur fixée à l'avance. La question est donc la suivante : la moyenne mesurée dans l'échantillon s'écarte-t-elle de manière statistiquement significative de cette valeur de référence ? La valeur de référence peut, par exemple, être une moyenne connue de la population ou un objectif de qualité à contrôler.

Prémisses

Dans un test t à un échantillon, les observations doivent être indépendantes les unes des autres, provenir d'un échantillon aléatoire et être mesurées sur une échelle de mesure métrique. La variable doit en outre être approximativement normalement distribuée dans la population. Pour les grands échantillons, le test reste assez robuste à des écarts modérés à la normalité, mais une forte asymétrie ou des valeurs aberrantes restent problématiques.

Test t unilatéral et test t bilatéral

Pour savoir si la moyenne d'une population diffère d'une valeur de référence, il faut donc calculer un test t à un échantillon. Mais avant de pouvoir calculer le test t, il faut d'abord définir une question et des hypothèses. Cela permet de déterminer s'il faut calculer un test t unilatéral (directionnel) ou bilatéral (non directionnel).

La question permet de définir l'objet de l'étude. Dans le cas du test t à un échantillon, la question est la suivante :

Pour les exemples ci-dessus, cela nous donne les questions suivantes :

• La perception de la santé par les cadres au Canada diffère-t-elle de celle de l'ensemble de la population canadienne ?
• L'usine de production fabrique-t-elle des vis d'un poids de 10 grammes ?
• Le nouveau médicament réduit-il la tension artérielle de 10 mmHg en une semaine ?

Hypothèses du test t

Pour réaliser un test t à un échantillon, les hypothèses suivantes sont formulées :

Formule du test t à un échantillon

Le test t peut être calculé à l'aide d'un logiciel de statistiques comme numiqo ou à la main. Pour le calcul à la main, il faut d'abord obtenir la statistique de test t, qui peut être calculée pour le test t à un échantillon à l'aide de la formule suivante :

Afin de vérifier si la valeur moyenne de l'échantillon diffère significativement de la valeur de référence, la statistique de test est comparée à une valeur t critique. Il faut d'abord connaître le nombre de degrés de liberté, abrégé ddl, qui se calcule en prenant le nombre d'observations moins un.

Dans la formule du test t, l'écart-type de l'échantillon sert à estimer l'écart-type inconnu de la population.

Si le nombre de degrés de liberté est connu, la valeur t critique peut être déterminée à l'aide de la table des valeurs t. Pour un échantillon de 12 personnes, le nombre de degrés de liberté est de 11 et le niveau de signification est supposé être de 5 %. Le tableau ci-dessous présente les valeurs t pour une distribution ouverte unilatérale. Selon que l'on souhaite calculer un test t unilatéral (directionnel) ou bilatéral (non directionnel), il faut lire la valeur t à 0,95 ou à 0,975. Pour l'hypothèse non directionnelle et un niveau de signification de 5 %, la valeur t critique est de 2,201.

Dans le cas bilatéral, le résultat est significatif si la valeur absolue de la valeur t calculée est supérieure à la valeur t critique. Dans le cas unilatéral, la valeur t doit dépasser la valeur critique dans le sens précisé par l'hypothèse alternative.

Interpréter la valeur t

La valeur t est calculée en divisant la différence mesurée par son erreur standard. Plus l'amplitude de t est grande, plus le résultat plaide contre l'hypothèse nulle. Si la valeur absolue de la valeur t calculée est supérieure à la valeur t critique, l'hypothèse nulle est rejetée.

Nombre de degrés de liberté - ddl

Le nombre de degrés de liberté indique combien de valeurs peuvent varier librement. Les degrés de liberté correspondent donc au nombre d'informations individuelles indépendantes.

Exemple de test t à un échantillon

À titre d'exemple de test t pour un échantillon, nous examinons si les résultats des étudiants aux examens, après l'introduction d'un nouveau didacticiel de statistiques en ligne, s'écartent de la moyenne historique.

La note moyenne à l'examen de statistiques dans une université est de 28 points depuis des années. Ce semestre, un nouveau cours de statistiques en ligne a été introduit. La direction du cours aimerait maintenant savoir si la note moyenne à l'examen a changé depuis l'introduction du tutoriel. Comme il n'y a pas de groupe témoin, cette comparaison peut mettre en évidence un écart par rapport à la moyenne historique, mais ne permet pas de conclure que le tutoriel en est la cause.

La population considérée est l'ensemble des étudiants qui ont passé l'examen de statistique depuis l'introduction du nouveau didacticiel de statistique. La valeur de référence à comparer est 28.

Les résultats suivants sont obtenus avec numiqo : la valeur moyenne est de 32,33 et l'écart-type de 5,47. L'erreur standard de la valeur moyenne est donc de 1,58. La statistique t donne donc 2,75.

Vous souhaitez maintenant savoir si le résultat est statistiquement significatif ou non (la valeur de référence étant 28). Pour ce faire, vous devez d'abord spécifier un niveau de signification dans numiqo, habituellement 5 %, qui est présélectionné. Vous obtiendrez alors le tableau ci-dessous dans numiqo.

Pour déterminer si le résultat est statistiquement significatif, on peut utiliser l'une des deux valeurs suivantes :

• la valeur p (bilatérale)
• l'intervalle de confiance inférieur et supérieur de la différence

Dans cet exemple, la valeur p (bilatérale) est égale à 0,02, soit 2 %. Cela signifie que, si la moyenne de la population était réellement de 28, on obtiendrait une valeur t au moins aussi extrême que celle observée avec une probabilité d'environ 2 %. Comme la valeur p est inférieure au seuil de signification de 5 % fixé avant l'analyse, on rejette l'hypothèse nulle.

L'existence ou non d'une différence significative peut également être lue dans l'intervalle de confiance de la différence. Si l'intervalle de confiance à 95 % contient zéro, le résultat n'est pas significatif au seuil α = 0,05 ; s'il ne contient pas zéro, il est significatif. Dans cet exemple, la valeur inférieure est de 0,86 et la valeur supérieure de 7,81. Comme l'intervalle ne contient pas zéro, il y a une différence significative.