Test U de Mann-Whitney

Le test U de Mann-Whitney permet de vérifier si les valeurs ont tendance à être plus élevées dans l'un de deux groupes indépendants, sans exiger que les données suivent une distribution normale.

Pour déterminer s'il existe une différence entre deux échantillons, on utilise les sommes des rangs des deux échantillons plutôt que les moyennes comme dans le test t pour les échantillons indépendants.

Le test U de Mann-Whitney est donc le pendant non paramétrique du test t pour échantillons indépendants ; il est soumis à des hypothèses moins strictes que le test t. Par conséquent, le test U de Mann-Whitney peut être utilisé lorsque la condition de distribution normale du test t n'est pas remplie.

Conditions du test U de Mann-Whitney

Pour pouvoir calculer un test U de Mann-Whitney, il faut disposer de deux échantillons aléatoires indépendants, dont la variable étudiée est mesurée au moins sur une échelle ordinale. Les observations doivent être indépendantes les unes des autres, mais elles ne doivent pas nécessairement suivre une distribution normale.

Si les données sont disponibles par paires, le test de Wilcoxon doit être utilisé à la place du test U de Mann-Whitney.

Hypothèses du test U de Mann-Whitney

Les hypothèses du test U de Mann-Whitney sont très similaires à celles du test t pour échantillons indépendants. La différence est que le test U de Mann-Whitney porte sur une différence de tendance centrale, alors que le test t porte sur une différence de moyennes. Ainsi, le test U de Mann-Whitney aboutit à :

• Hypothèse nulle : il n'y a pas de différence (en termes de tendance centrale) entre les deux groupes de la population.
• Hypothèse alternative : il existe une différence (en termes de tendance centrale) entre les deux groupes de la population.

Le test U compare en réalité les distributions entières : le résultat ne s'interprète comme une différence de médianes que si les deux distributions ont une forme semblable.

Calculer le test U de Mann-Whitney

Pour calculer le test U de Mann-Whitney pour deux échantillons indépendants, il faut d'abord déterminer les rangs des valeurs individuelles (un exemple avec des rangs égaux suit ci-dessous).

Ces rangs sont ensuite additionnés pour les deux groupes. Dans l'exemple ci-dessus, la somme des rangs T₁ des femmes est de 37 et la somme des rangs T₂ des hommes est de 29. Le rang moyen est donc R̄₁= 6,17 pour les femmes et R̄₂= 5,80 pour les hommes. La différence entre R̄₁ et R̄₂ indique maintenant s'il existe des différences possibles entre les temps de réaction. Dans l'étape suivante, les valeurs U sont calculées à partir des sommes de rangs T₁ et T₂.

où n₁, n₂ sont le nombre d'éléments dans le premier et le second groupe respectivement. Sous l'hypothèse nulle, la valeur attendue de chaque valeur U est n₁·n₂/2. La valeur z standardisée se calcule ensuite à partir de cette valeur attendue et de l'écart-type de U. Pour la valeur U de Mann-Whitney, la plus petite valeur de U₁ et U₂ est utilisée.

Selon la taille de l'échantillon, la valeur p du test U de Mann-Whitney est calculée de manière différente. Pour un maximum de 25 cas, on utilise les valeurs exactes, qui peuvent être lues dans un tableau. Pour des échantillons plus importants, la distribution normale peut être utilisée comme approximation. Remarque : dans cet exemple, nous utiliserions en fait la valeur exacte, mais nous utiliserons néanmoins la distribution normale. Pour cela, il suffit d'insérer la valeur z dans la calculatrice numiqo qui convertit une valeur z en valeur p.

Si la valeur z calculée est, en valeur absolue, supérieure à la valeur z critique, on rejette l'hypothèse nulle.

Calculer le test U de Mann-Whitney en cas d'égalité des rangs

Si plusieurs personnes partagent un rang, on parle de rangs liés. Dans ce cas, le calcul des sommes des rangs et de l'écart-type de la valeur U est modifié. Nous allons examiner ces deux aspects à l'aide d'un exemple.

Dans cet exemple, on peut voir que...

• ...les temps de réaction 34 apparaissent deux fois et partagent les rangs 2 et 3
• ...les temps de réaction 39 apparaissent trois fois et se partagent les rangs 6, 7 et 8.

Pour tenir compte de ces rangs liés, les valeurs moyennes des rangs communs sont calculées dans chaque cas. Dans le premier cas, on obtient un "nouveau" rang de 2,5 et dans le second cas, un "nouveau" rang de 7. Les sommes des rangs T peuvent maintenant être calculées.

Comme les égalités de rangs sont clairement visibles dans le tableau ci-dessus, un terme est calculé ici, qui est nécessaire pour le calcul ultérieur de la valeur U en présence d'égalités de rangs.

Toutes les valeurs sont maintenant disponibles pour calculer la valeur z en tenant compte des rangs liés.

Une fois de plus, il convient de noter qu'il faut environ 25 cas pour supposer une distribution normale des valeurs U.

Exemple avec numiqo

Le test U de Mann-Whitney peut être facilement calculé avec numiqo. Il suffit de copier le tableau ci-dessous ou ses propres données dans la calculatrice de statistiques et de cliquer sur Tests d'hypothèse. Cliquer ensuite sur les deux variables et sélectionner Test non paramétrique.

numiqo donne alors le tableau suivant pour le test U de Mann-Whitney :

Le test U de Mann-Whitney fonctionne avec des rangs, de sorte que le résultat indiquera d'abord les rangs moyens et la somme des rangs. Le rang moyen des femmes est légèrement supérieur à celui des hommes.

numiqo donne la signification asymptotique et la signification exacte. La signification utilisée dépend de la taille de l'échantillon. En règle générale :

• n₁ + n₂ < 30 → signification exacte
• n₁ + n₂ > 30 → signification asymptotique

La signification exacte est donc utilisée pour cet exemple. La signification (bilatérale) est de 0,931 et donc supérieure au seuil de signification de 0,05. Par conséquent, ces données ne permettent pas de déterminer une différence entre le temps de réaction des hommes et celui des femmes.

Interprétation du test U de Mann-Whitney

Le groupe des femmes présente la même médiane de temps de réaction (Mdn = 39) que le groupe des hommes (Mdn = 39). Le test U de Mann-Whitney ne met en évidence aucune différence statistiquement significative entre les deux groupes, U = 14, p = 0,931, r = 0,06.

Taille de l'effet du test U de Mann-Whitney

Pour déterminer la taille de l'effet du test U de Mann-Whitney, il faut disposer de la statistique de test standardisée z et du nombre total d'observations n, ce qui permet de calculer la taille de l'effet à l'aide de la formule suivante :

Dans ce cas, la taille de l'effet est de 0,06. Pour l'interpréter, on utilise généralement les repères suivants :

• Taille de l'effet r autour de 0,1 → petit effet
• Taille de l'effet r autour de 0,3 → effet moyen
• Taille de l'effet r autour de 0,5 → effet important

Dans ce cas, la taille de l'effet de 0,06 correspond donc à un effet très faible.