Valeur moyenne, médiane et modale

Que sont la moyenne, la médiane et la valeur modale ?

En statistique descriptive, les valeurs moyenne, médiane et modale sont des indicateurs de position (mesures de tendance centrale). Sur la base des données recueillies dans un échantillon, les indicateurs de position fournissent des informations sur l'emplacement du "centre" de la distribution.

Les indicateurs de position permettent de résumer toute une liste de données par une seule valeur. Par exemple, la durée moyenne des études des étudiants en sport à l'université XY est de 11,1 semestres.

Avec les indicateurs de dispersion, les indicateurs de position décrivent une distribution en statistique : la position indique où se situent les données, la dispersion indique à quel point elles sont étalées. Les indicateurs de position les plus couramment utilisés sont la moyenne, la valeur modale et la médiane. Toutes ces mesures décrivent le centre de la distribution de différentes manières. Le choix de l'indicateur de position dépend du niveau de mesure de la variable et de la robustesse souhaitée face aux valeurs aberrantes.

Moyenne (moyenne arithmétique)

La moyenne n'a de sens que pour les variables métriques, c'est-à-dire lorsqu'une échelle de mesure métrique est donnée et que les écarts entre les valeurs sont interprétables. Elle indique où se trouve le centre de gravité d'une distribution. Dans la vie courante, on l'appelle simplement la "moyenne".

La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs d'une variable, puis en divisant cette somme par le nombre d'observations.

Calculer la valeur moyenne

On a demandé à un groupe de 5 étudiants en statistiques combien de tasses de café ils boivent par semaine. Les réponses sont 21, 25, 10, 8 et 11 tasses. La somme vaut 75 et, divisée par le nombre d'observations (5), elle donne une moyenne de 15 tasses.

Conseil : vous pouvez facilement calculer la moyenne de vos données en ligne avec la calculatrice de statistiques de numiqo.

Moyenne géométrique et moyenne quadratique

Lorsque l'on parle de moyenne ou de moyenne empirique, on fait généralement référence à la moyenne arithmétique, mais il existe également d'autres types de valeurs moyennes. D'autres valeurs moyennes sont, par exemple, la moyenne géométrique et la moyenne quadratique, également appelée Root Mean Square (RMS).

• Moyenne géométrique : pour n nombres strictement positifs, la moyenne géométrique est la racine n-ième de leur produit. On l'utilise surtout pour des facteurs de croissance, par exemple pour calculer un taux de croissance annuel moyen.
• Moyenne quadratique : on élève chaque valeur au carré, on calcule la moyenne de ces carrés, puis on prend la racine carrée du résultat. Elle sert surtout en physique et en ingénierie, par exemple pour les courants alternatifs.

Médiane

Si les valeurs mesurées d'une variable sont classées par ordre croissant, la valeur du milieu est la médiane. La médiane est donc la "valeur centrale" d'une distribution : elle divise la série en deux parties, la moitié inférieure des valeurs d'un côté et la moitié supérieure de l'autre.

Comme les données doivent être triées pour calculer la médiane, la variable doit avoir un niveau d'échelle ordinal ou métrique.

Pour que la médiane puisse être calculée, la variable doit avoir un niveau d'échelle au moins ordinal. Une échelle ordinale signifie qu'il existe un ordre de classement entre les valeurs d'une variable. C'est le cas, par exemple, des notes scolaires (ordinales), de la taille ou du salaire (métriques). En revanche, il n'est pas possible de créer un ordre de classement pour une variable comme le "lieu de naissance" : la médiane ne peut donc pas y être calculée.

S'il y a un nombre impair de valeurs, la médiane est une valeur réellement présente dans les données.

S'il y a un nombre pair de valeurs numériques, il existe deux valeurs centrales : on les additionne et on divise leur somme par deux, c'est-à-dire qu'on en prend la moyenne.

Moyenne et médiane

Par rapport à la moyenne, la médiane est beaucoup plus robuste face aux valeurs aberrantes. Une valeur extrême isolée n'a généralement que peu d'influence sur la médiane, alors qu'elle peut fortement déplacer la moyenne dans sa direction. Pour des données asymétriques comportant des valeurs extrêmes, comme les revenus, la médiane est donc souvent le meilleur indicateur de position.

Valeur modale

La valeur modale, ou mode, est la valeur qui apparaît le plus souvent dans une distribution ; elle correspond au sommet, c'est-à-dire au point le plus haut de la distribution. Il s'agit donc de la valeur "typique" d'une distribution, même si elle ne se situe pas nécessairement près du centre des données.

La valeur modale peut être utilisée pour les variables métriques et catégorielles (nominales ou ordinales). Pour des données métriques continues, les valeurs se répètent toutefois rarement à l'identique : le mode se détermine alors le plus souvent après avoir regroupé les valeurs en classes.

Calculer la valeur modale

Exemple : dans un échantillon de 70 managers de Berlin, 20 conduisent une Daimler, 25 une BMW, 10 une VW et 15 une Audi. La marque de voiture BMW est la plus fréquente. La valeur modale est donc "BMW".

La valeur modale peut donc être facilement lue dans un tableau de fréquence, c'est la valeur observée la plus fréquente.

Attention : il peut aussi y avoir plusieurs valeurs modales. Si deux valeurs ou plus apparaissent avec la même fréquence maximale, la distribution possède plusieurs valeurs modales. On parle alors de distribution bimodale (deux modes) ou multimodale (plus de deux modes).

Avantages et inconvénients de la moyenne, de la médiane et du mode

Si la distribution est parfaitement symétrique, la moyenne et la médiane coïncident ; si elle est de plus unimodale, les trois mesures coïncident. Sur des données réelles, cependant, les trois mesures prennent le plus souvent des valeurs différentes. La question est donc de savoir laquelle utiliser. Il n'existe pas de règle absolue, mais quelques repères utiles.

La moyenne : la moyenne est de loin la plus utilisée et elle tient compte de toutes les observations. Ses inconvénients sont qu'elle est sensible aux valeurs aberrantes, qu'elle ne correspond pas nécessairement à une valeur présente dans les données et que son interprétation suppose une échelle de mesure métrique.

La médiane : son grand avantage est qu'elle est très robuste face aux valeurs aberrantes et qu'il suffit que les données soient au moins de niveau ordinal. En revanche, elle ne tient pas compte de l'ampleur de chaque valeur.

Le mode : le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment, ce qui présente l'avantage qu'il s'agit d'une valeur réellement observée. En outre, il peut aussi être déterminé pour des données qui ne peuvent pas être ordonnées, c'est-à-dire de niveau nominal. Ses inconvénients sont qu'une série peut n'avoir aucun mode ou en avoir plusieurs, et qu'il ne tient pas compte des autres valeurs.

Exemple d'indicateurs de position

Avec le calculateur de statistiques en ligne sur numiqo, vous pouvez calculer la moyenne, la médiane et la valeur modale de vos données.

Voici comment cela fonctionne sur numiqo : à titre d'exemple, nous utilisons les scores obtenus à un examen de statistiques. Copiez les données dans la calculatrice de statistiques, cliquez sur Statistiques descriptives et sélectionnez la variable "Score".

Le résultat ressemble alors à ceci :

Calculer la moyenne :

La moyenne est calculée en divisant la somme de toutes les valeurs par le nombre de valeurs.

Calculer la médiane :

En raison du nombre pair de valeurs, la médiane est obtenue en additionnant les deux valeurs du milieu. La somme est ensuite divisée par deux.