Le test de Friedman

Le test de Friedman est un test statistique non paramétrique utilisé pour analyser des données à mesures répétées ou des échantillons appariés. On y recourt surtout lorsque la condition de normalité de l'ANOVA à mesures répétées n'est pas remplie. Il convient également aux données ordinales, ce qui en fait une alternative solide à cette ANOVA.

Qu'est-ce qu'un échantillon dépendant (mesure répétée) ? Dans un échantillon dépendant, les valeurs mesurées sont liées. Par exemple, si un échantillon est constitué de personnes ayant subi une opération du genou et que ces personnes sont interrogées avant l'opération, puis une et deux semaines après l'opération, il s'agit d'un échantillon dépendant. C'est le cas parce que la même personne a été interrogée à plusieurs moments.

Test de Friedman vs. ANOVA avec mesures répétées

On pourrait dire à juste titre que l'analyse de la variance avec mesures répétées teste exactement la même chose, puisqu'elle teste également s'il y a une différence entre trois échantillons dépendants ou plus.

C'est exact, le test de Friedman est la contrepartie non paramétrique de l'analyse de la variance avec mesures répétées. Mais quelle est la différence entre les deux tests ?

L'ANOVA à mesures répétées compare les moyennes calculées à partir des valeurs mesurées. Le test de Friedman, quant à lui, utilise les rangs attribués à l'intérieur de chaque personne, et non les valeurs mesurées elles-mêmes.

Les rangs sont attribués séparément pour chaque personne : chez une personne donnée, le moment où sa valeur est la plus élevée obtient le rang 1, celui où sa valeur est la deuxième plus élevée obtient le rang 2 et celui où sa valeur est la plus faible obtient le rang 3. Cette opération est effectuée pour toutes les personnes, c'est-à-dire pour toutes les lignes. En cas d'ex æquo dans une même ligne, on attribue la moyenne des rangs concernés. Ensuite, les rangs sont additionnés par colonne, c'est-à-dire pour chaque moment de mesure.

Au premier moment de mesure, nous obtenons une somme de 7, au deuxième une somme de 8 et au troisième une somme de 9. Nous pouvons maintenant vérifier l'écart entre ces sommes de rangs.

Pourquoi utilise-t-on les rangs ? Le grand avantage est que si l'on ne regarde pas la différence de moyenne, mais la somme des rangs, il n'est pas nécessaire que les données soient normalement distribuées.

Pour simplifier, si les données sont normalement distribuées, on utilise des tests paramétriques. Pour plus de deux échantillons dépendants, il s'agit de l'ANOVA avec mesures répétées.

Si les données ne sont pas normalement distribuées, on utilise des tests non paramétriques. Pour plus de deux échantillons dépendants, il s'agit du test de Friedman.

Hypothèses du test de Friedman

Cela nous amène à la question de recherche, à laquelle le test de Friedman permet de répondre. La question de recherche est la suivante : les distributions diffèrent-elles entre trois groupes dépendants ou plus ? On formule donc l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative suivantes :

• Hypothèse nulle : dans la population, les distributions sont identiques dans tous les groupes dépendants.
• Hypothèse alternative : dans la population, au moins un groupe présente une distribution différente.

Bien entendu, comme nous l'avons déjà mentionné, le test de Friedman n'utilise pas les valeurs réelles, mais les rangs.

Exemple de test de Friedman

Il peut être intéressant de savoir si le traitement d'une hernie discale a une influence sur la perception de la douleur par le patient. Pour ce faire, on mesure la sensation de douleur avant la thérapie, au milieu de la thérapie et à la fin de la thérapie. On veut maintenant savoir s'il y a une différence entre les différents moments.

La variable indépendante est donc le temps, c'est-à-dire l'évolution de la thérapie dans le temps. La variable dépendante est la perception de la douleur. Nous disposons maintenant d'une progression de la perception de la douleur de chaque personne au fil du temps et nous voulons savoir si la thérapie a un effet sur la perception de la douleur.

En termes simples, dans un cas la thérapie a une influence sur la perception de la douleur et, dans l'autre, elle n'en a pas : dans le premier cas, la perception de la douleur change au fil du temps, alors que dans le second, elle reste stable.

Calculer le test de Friedman

Supposons que l'on veuille étudier s'il existe une différence dans la réactivité des personnes le matin, à midi et le soir. À cette fin, vous avez mesuré la réactivité de 7 personnes le matin, à midi et le soir.

Dans un premier temps, nous devons attribuer un rang aux valeurs. Pour ce faire, nous examinons chaque ligne, c'est-à-dire chaque personne, séparément.

Dans la première ligne, ou pour la première personne, 45 est la valeur la plus élevée, elle obtient le rang 1, puis vient 36 avec le rang 2 et 34 avec le rang 3. Nous procédons de la même manière pour la deuxième ligne. Ici, 36 est la plus grande valeur et obtient le rang 1, puis viennent 33 au rang 2 et 31 au rang 3. Nous procédons ainsi pour chaque ligne.

Ensuite, nous pouvons calculer la somme des rangs pour chaque moment de la journée : il suffit d'additionner les rangs de chaque colonne. Le matin, nous obtenons 17, à midi 11 et le soir 14.

Sous l'hypothèse nulle, la somme des rangs attendue est la même à chaque moment de mesure. Elle s'obtient avec la première formule de l'image et vaut ici 14. Ainsi, s'il n'y a pas de différence entre le matin, le midi et le soir, nous nous attendons à une somme de rangs de 14 pour les trois moments de mesure.

Ensuite, nous pouvons calculer la valeur du khi-deux à l'aide de la seconde formule de l'image. N est le nombre de personnes, c'est-à-dire 7, k est le nombre de moments de mesure, c'est-à-dire 3, et la somme des R² vaut 17² + 11² + 14². Nous obtenons donc une valeur de khi-deux de 2,57.

Nous avons maintenant besoin du nombre de degrés de liberté. Celui-ci est donné par le nombre de moments de mesure moins 1, donc 2 dans notre cas.

Nous pouvons maintenant lire la valeur critique du khi-deux dans le tableau des valeurs critiques du khi-deux. Pour cela, nous prenons le niveau de signification fixé avant l'analyse, disons 0,05, et le nombre de degrés de liberté. Nous pouvons alors lire que la valeur critique du khi-deux est de 5,99. Cette valeur est supérieure à la valeur calculée. Par conséquent, l'hypothèse nulle n'est pas rejetée : ces données ne fournissent pas d'indication suffisante d'une différence de réactivité entre les moments de mesure. Si la valeur du khi-deux calculée était supérieure à la valeur critique, nous rejetterions l'hypothèse nulle.

Calculer le test de Friedman avec numiqo

Pour calculer le test de Friedman, il suffit d'utiliser numiqo. Pour ce faire, il suffit de se rendre dans la calculatrice du test de Friedman sur numiqo et de copier ses propres données dans le tableau de la calculatrice de statistiques.

Nous obtenons maintenant les résultats du test de Friedman.

On obtient d'abord les statistiques descriptives. Ensuite, on peut lire la valeur p. Si vous ne savez pas exactement comment interpréter la valeur p, vous pouvez simplement consulter l'interprétation en toutes lettres. Un test de Friedman n'a pas mis en évidence de différence significative entre les moments de mesure, khi-deux = 2,57, p = 0,276.

Si la valeur p est supérieure au seuil de signification fixé avant l'analyse, l'hypothèse nulle n'est pas rejetée. L'hypothèse nulle est qu'il n'y a pas de différence entre les groupes. Habituellement, un seuil de signification de 0,05 est utilisé ; ici, la valeur p lui est supérieure. Les données ne fournissent donc pas d'indication suffisante d'une différence, ce qui ne prouve pas pour autant que les groupes soient identiques.

Test post-hoc

numiqo propose également un test post-hoc. Le test de Friedman est un test global : s'il est significatif, les comparaisons post-hoc permettent d'examiner quels groupes diffèrent les uns des autres.

Ici, deux groupes dépendants sont comparés dans chaque ligne et l'on teste l'hypothèse nulle selon laquelle leurs distributions sont identiques. La "valeur p ajustée" est obtenue selon la correction de Bonferroni, en multipliant la valeur p par le nombre de comparaisons ; les valeurs supérieures à 1 sont ramenées à 1. Cet ajustement tient compte du risque accru de faux positifs lorsque plusieurs comparaisons sont effectuées.

Si une valeur p ajustée est inférieure au seuil de signification, la paire de groupes correspondante met en évidence une différence.