Indicateurs de dispersion

L'écart-type, la variance, l'étendue et l'écart interquartile font partie des mesures de dispersion (mesures de la variabilité) en statistique descriptive. Elles sont calculées pour décrire la dispersion des valeurs d'un échantillon autour d'un indicateur de position. En termes simples, les indicateurs de dispersion indiquent à quel point les valeurs s'écartent d'une valeur centrale.

Les indicateurs de position vous renseignent sur le centre de vos données, tandis que les mesures de dispersion vous indiquent à quel point vos données sont étalées autour de ce centre.

Écart-type et variance

Les mesures de dispersion les plus courantes pour les variables métriques sont l'écart-type et la variance. Ces deux mesures reposent sur les écarts de chaque valeur par rapport à la moyenne et indiquent ainsi à quel point les valeurs individuelles se dispersent autour de celle-ci.

Qu'est-ce que l'écart-type ?

L'écart-type indique la dispersion d'une variable autour de sa valeur moyenne. Plus précisément, il s'agit de la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Il est toujours positif ou nul : un écart-type égal à 0 signifie que toutes les valeurs sont identiques, et plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.

Si les valeurs individuelles sont fortement dispersées autour de la valeur moyenne, l'écart-type de la variable est important. Il existe deux formules légèrement différentes pour ce calcul, selon que les données correspondent à la population entière ou à un simple échantillon. Si toutes les valeurs de la population sont disponibles, on utilise la formule suivante :

Souvent, cependant, les données de la population entière ne sont pas disponibles. On utilise alors un échantillon pour estimer la variance et l'écart-type de la population. Dans ce cas, la formule est la suivante :

La différence entre les deux formules tient au dénominateur : pour la population, la somme des carrés des écarts est divisée par le nombre de valeurs n ; pour un échantillon, elle est divisée par n − 1. Cette correction fait de la variance de l'échantillon un estimateur sans biais de la variance de la population. Il est d'usage d'utiliser s pour l'écart-type d'un échantillon et σ pour l'écart-type de la population.

Qu'est-ce que la variance ?

Tout comme l'écart-type, la variance mesure la dispersion autour de la moyenne. Pour une population, on divise la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre de valeurs. Pour un échantillon servant à estimer la variance de la population, on divise cette même somme par n − 1.

La variance décrit donc l'écart quadratique moyen par rapport à la moyenne. Comme les écarts sont élevés au carré, le résultat s'exprime dans une unité différente de celle des données d'origine (l'unité au carré), ce qui rend son interprétation directe moins intuitive.

Variance par rapport à l'écart-type

La variance repose sur les carrés des écarts à la moyenne, tandis que l'écart-type en est la racine carrée : il s'exprime donc dans la même unité que les données d'origine. En d'autres termes, la variance est le carré de l'écart-type et l'écart-type est la racine carrée de la variance. Attention : l'écart-type n'est pas la moyenne des distances absolues à la moyenne ; cette autre mesure porte le nom d'écart absolu moyen.

Comme l'unité de la variance ne correspond pas à celle des données d'origine, c'est généralement l'écart-type que l'on rapporte pour décrire la dispersion d'un échantillon. La variance reste toutefois essentielle dans de nombreuses méthodes statistiques, comme l'analyse de variance ou la régression : le choix dépend donc de l'objectif.

Étendue

L'étendue, également appelée amplitude, est la distance entre le minimum et le maximum d'une distribution, c'est-à-dire la distance entre la plus petite et la plus grande valeur. Par exemple, si l'on mesure la taille de 7 personnes et que la plus grande valeur est 1,90 m et la plus petite 1,50 m, l'étendue vaut 1,90 m − 1,50 m = 0,40 m.

L'étendue, souvent notée R, se calcule donc ainsi :

Étendue et écart-type : les deux décrivent la dispersion, mais de façons différentes. L'étendue ne repose que sur les deux valeurs extrêmes : elle est très simple à calculer, mais aussi très sensible aux valeurs aberrantes. L'écart-type, lui, tient compte de toutes les valeurs. C'est pourquoi l'écart-type est généralement privilégié pour des données métriques, l'étendue servant surtout à se faire une première idée rapide.

Quartiles

Les quartiles sont les valeurs qui divisent vos données en quatre parties, aussi égales que possible. Pour les calculer, les données doivent d'abord être triées de la plus petite à la plus grande valeur. Les logiciels statistiques utilisent des conventions de calcul légèrement différentes, en particulier sur de petits échantillons : les valeurs des quartiles peuvent donc varier d'un programme à l'autre.

• Premier quartile (Q1) : environ 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
• Deuxième quartile (Q2) : la médiane des données, c'est-à-dire qu'environ la moitié des valeurs sont plus petites et l'autre moitié plus grandes.
• Troisième quartile (Q3) : environ 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Ainsi, environ 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q1 et environ 25 % sont supérieures ou égales à Q3.

Écart interquartile

Contrairement à l'étendue, qui couvre 100 % des valeurs, on souhaite souvent connaître l'intervalle dans lequel se trouvent les 50 % de valeurs intermédiaires. Cet indicateur de dispersion est appelé écart interquartile (souvent abrégé IQR, de l'anglais interquartile range). Il se calcule comme la différence entre le troisième et le premier quartile : Q3 − Q1. On laisse donc de côté les 25 % de valeurs les plus faibles et les 25 % les plus élevées. Contrairement à l'étendue, l'écart interquartile ne dépend ni du minimum ni du maximum : il reste donc robuste face aux valeurs aberrantes.

Exemple d'indicateurs de dispersion

Le calcul de l'étendue, de la variance et de l'écart-type peut être illustré par un exemple. Pour ce faire, nous utiliserons les scores obtenus par des étudiants à un examen de statistiques.

Voici comment cela fonctionne sur numiqo : la calculatrice de statistiques descriptives sur numiqo vous donne l'étendue, la variance et l'écart-type de l'échantillon. Copiez les données ci-dessus dans la calculatrice de statistiques en ligne, cliquez sur Statistiques descriptives et sélectionnez la variable Score. Le résultat ressemblera à ceci :

Calculer la variance :

Ces scores étant considérés comme un échantillon, la variance est la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par n − 1. Ici, la moyenne vaut 11 et la variance de l'échantillon 31,778.

Calculer l'écart-type :

L'écart-type est la racine carrée de la variance.

Calculer l'étendue :

L'étendue est obtenue en soustrayant la plus petite valeur de la plus grande.