Test du khi-deux

Le test du khi-deux est un test d'hypothèse utilisé pour déterminer s'il existe une relation entre deux variables catégorielles.

Qu'est-ce qu'une variable catégorielle? Les variables catégorielles sont, par exemple, le sexe, le journal préféré, la fréquence d'écoute de la télévision ou le niveau d'études le plus élevé d'une personne. Par conséquent, lorsque deux variables catégorielles doivent être testées pour déterminer s'il existe une relation, on utilise le test d'indépendance du khi-deux.

Supposons que nous voulions étudier s'il existe un lien entre le sexe et le niveau d'éducation le plus élevé. Pour ce faire, nous créons un questionnaire dans lequel les participants cochent leur sexe et leur niveau d'études le plus élevé. Le résultat de l'enquête est ensuite affiché dans un tableau de contingence.

Le test du khi-deux est utilisé pour déterminer s'il existe une relation entre le sexe et le niveau d'études le plus élevé.

Conseil: Sur numiqo, tu peux calculer le test du khi-deux en ligne. Il suffit de se rendre sur la page Calculatrice de test du khi-deux.

Applications du test du khi-deux

Le test du khi-deux a plusieurs applications. Il peut être utilisé pour répondre aux questions suivantes:

1) Test d'indépendance

Deux variables catégorielles sont-elles indépendantes l'une de l'autre? Par exemple, le sexe a-t-il un impact sur le fait qu'une personne soit abonnée ou non à Netflix?

2) Test de distribution

Les fréquences observées d'une seule variable catégorielle correspondent-elles à une distribution attendue? Une question pourrait être la suivante: les abonnements aux trois services de streaming vidéo Netflix, Amazon et Disney se répartissent-ils selon les parts de marché connues?

3) Test d'homogénéité

Deux échantillons ou plus sont-ils issus de la même population? Une question pourrait être de savoir si les fréquences d'abonnement aux trois services de streaming vidéo Netflix, Amazon et Disney diffèrent selon les groupes d'âge.

Calculer le khi-deux

La valeur du khi-deux est calculée de la manière suivante:

Pour clarifier le calcul de la valeur du khi-deux, nous nous référons au cas suivant: nous disposons d'un échantillon pour deux variables comportant chacune les catégories A et B. Nous voulons maintenant vérifier si les fréquences de l'échantillon correspondent aux fréquences attendues.

Avec la formule ci-dessus, tu peux maintenant calculer le khi-deux:

Après avoir calculé le khi-deux, il faut connaître le nombre de degrés de liberté df. Ce nombre est donné par

avec

• p: nombre de lignes
• q: nombre de colonnes

À partir du tableau de la distribution du khi-deux, on peut maintenant lire la valeur critique du khi-deux. Pour un niveau de signification de 5 % et un degré de liberté de 1, on obtient 3,841. Étant donné que la valeur du khi-deux calculée est plus petite, le résultat n'est pas significatif.

Comme condition préalable à ce test, il convient de noter que les fréquences attendues ne doivent pas être trop faibles, en règle générale au moins 5 par cellule. Si ce n'est pas le cas, il vaut mieux utiliser un test exact, par exemple le test exact de Fisher pour un tableau 2 × 2.

Test d'indépendance du khi-deux

Le test d'indépendance du khi-deux est utilisé lorsqu'il s'agit de tester l'indépendance de deux variables catégorielles. L'objectif est d'analyser si la répartition d'une variable diffère selon les catégories de l'autre. Le test met en évidence un lien, mais ne permet pas à lui seul de conclure à une relation de cause à effet.

Par exemple, le sexe a-t-il une influence sur le fait qu'une personne soit abonnée ou non à Netflix? Pour les deux variables sexe (homme, femme) et possession d'un abonnement Netflix (oui, non), on teste si elles sont indépendantes. Si ce n'est pas le cas, il existe une relation entre les deux variables.

La question de recherche, à laquelle le test du khi-deux permet de répondre, est la suivante: le sexe et la possession d'un abonnement Netflix sont-ils indépendants l'un de l'autre?

Pour calculer le khi-deux, il faut donner une fréquence observée et une fréquence attendue. Dans le test d'indépendance, la fréquence attendue est celle qui résulte de l'indépendance des deux variables. Si deux variables sont indépendantes, les fréquences attendues des cellules individuelles sont obtenues avec

où i et j sont respectivement les lignes et les colonnes du tableau. La fréquence attendue d'une cellule est donc: (total de la ligne × total de la colonne) / effectif total.

Pour l'exemple fictif de Netflix, les tableaux suivants pourraient être utilisés. À gauche, le tableau des fréquences observées dans l'échantillon, et à droite, le tableau qui résulterait d'une indépendance parfaite.

Le khi-deux est alors calculé comme suit

Le tableau du khi-deux permet de lire à nouveau la valeur critique et de la comparer au résultat.

Les conditions du test d'indépendance du khi-deux sont que les observations proviennent d'un échantillon aléatoire et qu'elles soient indépendantes les unes des autres: chaque personne ne doit apparaître que dans une seule cellule du tableau. Le test ne convient donc pas à des données appariées ou à des mesures répétées sur les mêmes personnes; on utilise alors le test de McNemar.

Test de distribution du khi-deux

Si une variable comporte deux catégories ou plus, les différences de fréquence entre ces catégories peuvent être examinées.

Le test de distribution du khi-deux, ou test d'ajustement, vérifie si les fréquences des différentes catégories dans l'échantillon correspondent aux fréquences d'une distribution définie. Dans la plupart des cas, cette distribution définie correspond à celle de la population. Dans ce cas, on vérifie si l'échantillon provient de la population correspondante.

Ici, une seule variable est étudiée: le nombre de degrés de liberté vaut donc k − 1, où k est le nombre de catégories.

Pour les études de marché, il pourrait être intéressant de savoir s'il existe une différence dans la pénétration du marché des trois services de streaming vidéo Netflix, Amazon et Disney entre Berlin et l'ensemble de l'Allemagne. La fréquence attendue correspond donc à la distribution des services de streaming dans toute l'Allemagne et la fréquence observée résulte d'une enquête menée à Berlin. Les résultats fictifs sont présentés dans les tableaux suivants

Le khi-deux donne alors le résultat suivant

Test d'homogénéité du khi-deux

Le test d'homogénéité du khi-deux peut être utilisé pour vérifier si deux échantillons ou plus proviennent de la même population. Une question pourrait être de savoir si la fréquence d'abonnement à trois services de streaming vidéo (Netflix, Amazon et Disney) diffère selon les groupes d'âge. À titre d'exemple fictif, une enquête est réalisée auprès de trois groupes d'âge et donne les résultats suivants

Comme pour le test d'indépendance du khi-deux, ce résultat est comparé au tableau qui résulterait si les distributions des fournisseurs de streaming étaient indépendantes de l'âge.

Taille de l'effet dans le test du khi-deux

Jusqu'à présent, nous savons seulement si nous pouvons rejeter l'hypothèse nulle ou non, mais il est souvent très intéressant de savoir quelle est la force de la relation entre les deux variables. On peut répondre à cette question à l'aide de la taille de l'effet.

Dans le test du khi-deux, le V de Cramér peut être utilisé pour mesurer la force du lien. Ici, une valeur de 0,1 est petite, une valeur de 0,3 est moyenne et une valeur de 0,5 est grande. Ces repères valent surtout pour un tableau 2 × 2; pour des tableaux plus grands, il faut aussi tenir compte de la taille du tableau et du domaine étudié. numiqo calcule bien sûr le V de Cramér pour toi.

Exemple de test du khi-deux

Test d'indépendance

Comme exemple de test du khi-deux où l'indépendance est testée, nous considérons l'utilisation des parapluies. Un jour de pluie, nous avons compté combien de femmes et combien d'hommes venaient à l'université avec un parapluie.

Voici comment fonctionne le calculateur de statistiques en ligne: Après avoir copié le tableau ci-dessus dans la calculatrice de tests d'hypothèses, tu peux calculer le test du khi-deux. Pour ce faire, il suffit de cliquer sur les deux variables Sexe et Parapluie. On obtient alors (1) le tableau de contingence, (2) la fréquence attendue pour des variables parfaitement indépendantes et (3) le test du khi-deux.

Fréquences attendues pour des variables parfaitement indépendantes:

Avec un seuil de signification de 5 % et un degré de liberté de 1, le tableau des valeurs du khi-deux donne une valeur critique de 3,841. La valeur du khi-deux calculée étant inférieure à la valeur critique, le résultat n'est pas significatif dans cet exemple et on ne rejette pas l'hypothèse nulle. La valeur p de 0,696 est d'ailleurs elle aussi supérieure à 5 %. En termes de contenu, cela signifie que ces données ne montrent pas de lien entre le sexe et l'utilisation d'un parapluie.

Test de distribution

Dans un quartier de Vienne, l'appartenance à un parti de 22 personnes a été enregistrée. Il s'agit maintenant de vérifier si les habitants de ce quartier (échantillon aléatoire) ont le même comportement électoral que les habitants de l'ensemble de la ville de Vienne (population).

Pour calculer le test du khi-deux pour l'exemple, il suffit de copier le tableau supérieur dans la calculatrice de test d'hypothèse.

À Vienne, le parti A représente 40 % des voix et le parti C 35 %; il reste donc 25 % pour le parti B. Tu obtiendras les résultats suivants:

Avec un seuil de signification de 5 %, la valeur p de 0,873 est supérieure à alpha: on ne rejette donc pas l'hypothèse nulle. Ces données ne montrent pas que le comportement électoral du quartier diffère de celui de l'ensemble de la ville de Vienne.