Analyse de la variance (ANOVA)
Qu'est-ce qu'une analyse de la variance ?
L'analyse de la variance (ANOVA) permet de déterminer s'il existe des différences statistiquement significatives entre les moyennes de plusieurs groupes. Pour cela, elle compare la variance entre les groupes à la variance à l'intérieur des groupes. Contrairement au test t, qui se limite à la comparaison de deux échantillons, l'ANOVA permet de comparer trois groupes ou plus.
Il existe différents types d'analyse de la variance, les plus courants étant l'analyse de la variance à une voie (un facteur) et l'analyse de la variance à deux voies (deux facteurs), chacune pouvant être calculée avec ou sans mesures répétées.
Ce tutoriel présente les bases de l'ANOVA. Pour chacun des quatre types d'analyse de la variance, vous trouverez un tutoriel détaillé séparé :
- ANOVA à un facteur (ou à une voie)
- ANOVA à deux facteurs (ou à deux voies)
- ANOVA à un facteur avec mesures répétées
- ANOVA à deux facteurs avec mesures répétées
Astuce : les quatre variantes de l'ANOVA peuvent être facilement calculées en ligne sur numiqo. Il suffit d'utiliser la calculatrice ANOVA.
Pourquoi les tests t multiples ne sont-ils pas calculés ?
L'ANOVA est appliquée lorsqu'il y a plus de deux groupes. Bien entendu, il serait également possible de calculer un test t pour chaque combinaison de groupes. Le problème est que chaque test comporte un risque de conclure à tort à une différence. Ce risque est généralement fixé à 5 %, et plus on multiplie les tests, plus la probabilité d'obtenir au moins un résultat significatif par simple hasard augmente.
Comparer 20 groupes deux à deux demande par exemple 190 tests. Même s'il n'existe en réalité aucune différence entre ces groupes, il est alors très probable qu'au moins un test soit significatif par hasard. L'ANOVA fournit d'abord un seul test d'ensemble ; des comparaisons post-hoc corrigées peuvent ensuite être calculées si nécessaire.
Différence entre l'ANOVA à une voie et l'ANOVA à deux voies
L'analyse de variance à une voie (ANOVA à une voie) évalue l'influence d'une seule variable indépendante sur une variable dépendante de type métrique. Par exemple, elle permet de vérifier si le lieu de résidence (variable indépendante) a un impact sur le salaire (variable dépendante). Cependant, lorsque deux variables indépendantes sont prises en compte, il est nécessaire d'utiliser une analyse de variance à deux facteurs (ANOVA à deux facteurs).
| ANOVA à un facteur | ANOVA à deux facteurs |
|---|---|
| Le lieu de résidence d'une personne (variable indépendante) influence-t-il son salaire ? | Le lieu de résidence (1re variable indépendante) et le sexe (2e variable indépendante) d'une personne influencent-ils son salaire ? |
L'analyse de variance à deux facteurs teste l'effet de chacun des deux facteurs, mais aussi leur interaction, c'est-à-dire le fait que l'effet d'un facteur dépende ou non du niveau de l'autre facteur.
Analyse de la variance avec et sans mesures répétées
Selon que l'échantillon est indépendant ou dépendant, on utilise l'analyse de la variance avec ou sans mesures répétées. Si la même personne a été interrogée à plusieurs reprises, l'échantillon est un échantillon dépendant et l'analyse de la variance avec mesures répétées est utilisée.
ANOVA à un facteur
L'analyse de variance à un facteur est une extension du test t pour les groupes indépendants. Avec le test t, seuls deux groupes au maximum peuvent être comparés ; cette possibilité est désormais étendue à plus de deux groupes. Pour deux groupes (k = 2), l'analyse de variance est équivalente au test t. La variable indépendante est donc une variable à échelle nominale avec au moins deux modalités. La variable dépendante est sur une échelle métrique. Dans le cas de l'analyse de la variance, la variable indépendante est appelée facteur.
Définition
Existe-t-il une différence dans la population entre les différents groupes de la variable indépendante par rapport à la variable dépendante ?
Le but de l'ANOVA est d'expliquer autant de variance que possible dans la variable dépendante en la divisant en groupes. Considérons l'exemple suivant :
Exemple d'ANOVA à un facteur
À l'aide de la variable indépendante, par exemple le niveau d'études le plus élevé, avec ses trois modalités (groupe 1, groupe 2 et groupe 3), il s'agit d'expliquer la plus grande partie possible de la variance de la variable dépendante qu'est le salaire. Dans le graphique ci-dessous, une grande partie de la variance est expliquée par les trois groupes sous A), et une très petite partie seulement sous B).
Par conséquent, dans le cas A), l'appartenance au groupe explique une grande partie des différences de salaire, alors que dans le cas B), elle n'en explique presque aucune.
Dans le cas A), les valeurs des groupes respectifs ne s'écartent que légèrement de la moyenne du groupe, la variance au sein des groupes est donc très faible. Dans le cas B), par contre, la variance à l'intérieur des groupes est importante. La variance entre les groupes est inversée : elle est grande dans le cas de A) et petite dans le cas de B). Dans le cas de B), les moyennes des groupes sont proches, dans le cas de A), elles ne le sont pas.
Hypothèses de l'analyse de la variance
L'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative résultent d'une analyse de variance à une voie comme suit :
- Hypothèse nulle H0 : dans la population, les moyennes de tous les groupes sont égales.
- Hypothèse alternative H1 : dans la population, au moins une moyenne de groupe diffère des autres.
L'analyse de variance est un test global : un résultat significatif indique qu'au moins un groupe diffère des autres, mais il ne dit pas lesquels. Pour savoir quels groupes diffèrent, il faut calculer un test post-hoc. Il existe plusieurs méthodes, les plus courantes étant les tests de Tukey, de Bonferroni et de Scheffé. Lorsque les variances des groupes sont inégales, on utilise plutôt le test de Games-Howell.
Exemple
Dans une usine de vis, une vis est produite par trois lignes de production différentes. Il s'agit maintenant de déterminer si toutes les lignes de production produisent des vis de même poids. Pour ce faire, on prélève 50 vis sur chaque ligne de production et on mesure leur poids. La procédure ANOVA permet ensuite de déterminer si le poids moyen des vis diffère significativement entre les trois lignes de production.
Un exemple d'analyse de variance à une voie consisterait à rechercher si la consommation hebdomadaire de café des étudiants de différentes matières diffère de manière significative.
| Variable dépendante | Variable indépendante | |
|---|---|---|
| Niveau de mesure | Variable à échelle d'intervalle |
Variable à échelle nominale avec au moins deux modalités |
| Exemple | Consommation hebdomadaire de café | Matière (mathématiques, psychologie, économie) |
Conditions préalables de l'analyse de variance à un facteur
- Niveau d'échelle : la variable dépendante doit être métrique et la variable indépendante à échelle nominale.
- Indépendance : les observations doivent être indépendantes les unes des autres, aussi bien à l'intérieur des groupes qu'entre les groupes.
- Homogénéité : les variances dans chaque groupe doivent être à peu près les mêmes. Ceci peut être vérifié avec le test de Levene.
- Distribution normale : les données au sein des groupes doivent suivre approximativement une distribution normale, c'est-à-dire que la majorité des valeurs se situent autour de la moyenne et que très peu de valeurs sont nettement plus faibles ou plus élevées. Si cette condition n'est pas remplie, le test de Kruskal-Wallis peut être utilisé.
S'il n'y a pas d'échantillons indépendants mais des échantillons dépendants, une analyse de variance à un facteur avec mesures répétées est utilisée.
ANOVA de Welch
Si la condition d'homogénéité des variances n'est pas remplie, l'ANOVA de Welch peut être calculée à la place de l'ANOVA classique. Si le test de Levene indique que les variances des groupes sont inégales, numiqo calcule automatiquement l'ANOVA de Welch en plus. Elle est particulièrement utile lorsque les effectifs des groupes sont eux aussi inégaux.
Taille de l'effet Eta au carré (η²)
Les mesures les plus connues de la taille de l'effet pour l'analyse de la variance sont l'Eta au carré et l'Eta au carré partiel. Pour une ANOVA à un seul facteur, l'Eta au carré et l'Eta au carré partiel sont identiques.
L'Eta au carré indique la part de la variance de la variable dépendante expliquée par le facteur. Il est calculé en divisant la somme des carrés inter-groupes par la somme des carrés totale. L'Eta au carré a toutefois tendance à surestimer l'effet réel dans la population ; l'oméga au carré en est une estimation moins biaisée.
Analyse de la variance à deux facteurs
Comme son nom l'indique, l'analyse de la variance à deux facteurs examine l'influence de deux facteurs sur une variable dépendante. Elle étend l'analyse de variance à un facteur en y ajoutant un facteur supplémentaire, c'est-à-dire une variable indépendante supplémentaire à échelle nominale. La question est à nouveau de savoir si la moyenne des groupes diffère de manière significative.
| Variable dépendante | Variable indépendante | |
|---|---|---|
| Niveau de mesure | Une variable à échelle d'intervalle | Deux variables à échelle nominale |
| Exemple | Consommation hebdomadaire de café |
Matière (mathématiques, psychologie, économie) et semestre (hiver, été) |
Exemple
Dans une usine de vis, une vis est produite par trois lignes de production différentes (facteur 1), en deux équipes (facteur 2). On veut maintenant déterminer si les lignes de production ou les équipes ont une influence sur le poids des vis. Pour ce faire, il faut prendre 50 vis de chaque combinaison ligne de production/équipe et en mesurer le poids. L'ANOVA à deux facteurs permet alors de déterminer si le poids moyen des vis dépend de la ligne de production, de l'équipe ou de l'interaction des deux.
Exemple avec numiqo
Analyse de la variance à un facteur :
Vous voulez vérifier s'il y a une différence dans la consommation de café entre les étudiants de différentes matières. Pour ce faire, vous interrogez 10 étudiants de chaque filière.
| Consommation de café | Matière |
|---|---|
| 21 | Mathématiques |
| 23 | Mathématiques |
| 18 | Économie |
| 22 | Économie |
| ... | ... |
Après avoir copié le tableau ci-dessus dans la calculatrice de test d'hypothèse, il suffit de cliquer sur Test d'hypothèse et de sélectionner les deux variables (matière et consommation de café). Le résultat ressemble à ceci :
Analyse de variance à un facteur :
| n | Moyenne | SD | |
|---|---|---|---|
| Mathématiques | 10 | 16,6 | 7,291 |
| Économie | 10 | 19,8 | 4,131 |
| Psychologie | 10 | 17,8 | 6,443 |
| Total | 30 | 18,067 | 5,938 |
| Somme des carrés | ddl | Carré moyen | F | p | |
|---|---|---|---|---|---|
| Entre les groupes | 52,267 | 2 | 26,133 | 0,702 | 0,505 |
| Au sein des groupes | 1005,6 | 27 | 37,244 | ||
| Total | 1057,867 | 29 |
Ici, n est le nombre de cas dans chaque groupe, ddl le nombre de degrés de liberté, F le rapport entre le carré moyen entre les groupes et le carré moyen au sein des groupes, et p la valeur p. Dans cet exemple, p = 0,505 : les données ne mettent pas en évidence de différence de consommation moyenne de café entre les trois matières.
